lqe

線形二次推定器 (カルマンフィルタ)

呼出し手順

[K,X]=lqe(P21)

パラメータ

P21: syslin リスト
K, X: 実数行列

説明

lqe は, 連続または離散時間系のフィルタ問題に関するカルマンゲインを返します.

P21 はシステム P21=[A,B1,C2,D21] P21=syslin('c',A,B1,C2,D21) または P21=syslin('d',A,B1,C2,D21)を表す syslinリストです.

P21 への入力は, 白色ノイズで分散は以下となります:

[B1 ]               [Q  S]
BigV=[   ] [ B1' D21'] = [    ]
[D21]               [S' R]

X は安定化リカッチ方程式の解, A+K*C2 は安定となります.

連続時間系において:

(A-S*inv(R)*C2)*X+X*(A-S*inv(R)*C2)'-X*C2'*inv(R)*C2*X+Q-S*inv(R)*S'=0

K=-(X*C2'+S)*inv(R)

離散時間系において:

X=A*X*A'-(A*X*C2'+B1*D21')*pinv(C2*X*C2'+D21*D21')*(C2*X*A'+D21*B1')+B1*B1'

K=-(A*X*C2'+B1*D21')*pinv(C2*X*C2'+D21*D21')

xhat(t+1)= E(x(t+1)| y(0),...,y(t)) (1ステップ予測した x) は以下の再帰的関係を満たします:

xhat(t+1)=(A+K*C2)*xhat(t) - K*y(t).

例

//Assume the equations
//.
//x = Ax + Ge
//y = Cx + v
//with
//E ee' = Q_e,    Evv' = R,    Eev' = N 
//
//This is equivalent to
//.
//x = Ax  + B1 w
//y = C2x + D21 w
//with E { [Ge ]  [Ge v]' } = E { [B1w ] [B1w D21w]' } = bigR =
//         [ v ]                  [D21w]    
//
//[B1*B1'  B1*D21';
// D21*B1'  D21*D21']  
//=
//[G*Q_e*G' G*N;
// N*G' R]

//To find (B1,D21) given (G,Q_e,R,N) form bigR =[G*Q_e*G' G*N;N'*G' R].
//Then [W,Wt]=fullrf(bigR);  B1=W(1:size(G,1),:);
//D21=W(($+1-size(C2,1)):$,:)
//
//P21=syslin('c',A,B1,C2,D21);
//[K,X]=lqe(P21);

//Example:
nx=5;ne=2;ny=3;
A=-diag(1:nx);G=ones(nx,ne);
C=ones(ny,nx); Q_e(ne,ne)=1; R=diag(1:ny); N=zeros(ne,ny);
bigR =[G*Q_e*G' G*N;N'*G' R];
[W,Wt]=fullrf(bigR);B1=W(1:size(G,1),:);
D21=W(($+1-size(C,1)):$,:);
C2=C;
P21=syslin('c',A,B1,C2,D21);
[K,X]=lqe(P21);
//Riccati check:
S=G*N;Q=B1*B1';
(A-S*inv(R)*C2)*X+X*(A-S*inv(R)*C2)'-X*C2'*inv(R)*C2*X+Q-S*inv(R)*S'

//Stability check:
spec(A+K*C)

参照

lqr — LQ補償器 (全状態)
observer — オブザーバの設計

作者

F. D.

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Last updated:
Thu May 12 11:45:52 CEST 2011