spec

Parâmetros

A

matriz quadrada de reais ou complexos

B

matriz quadrada de reais ou complexos com as mesmas dimensões queA

evals

vetor de reais ou complexos, os autovalores

diagevals

matriz diagonal de reais ou complexos (autovalores ao longo da diagonal)

alpha

vetor de reais ou complexos, al./be fornece os autovalores

beta

vetor de reais, al./be fornece os autovalores

R

matriz quadrada de reais ou complexos invertível, autovetores direitos da matriz

Q

matriz quadrada de reais ou complexos invertível, autovetores esquerdos do feixe

Z

matriz quadrada de reais ou complexos invertível, autovetores direitos do feixe

Descrição

evals=spec(A)

retorna no vetor evals os autovalores.

[R,diagevals] =spec(A)

retorna na matriz diagonal evals os autovalores e em R os autovetores direitos.

evals=spec(A,B)

retorna o espectro do feixe de matrizes A - s B, i.e. as raízes da matriz de polinômios s B - A.

[alpha,beta] = spec(A,B)

retorna o espectro do feixe de matrizes A - s B, i.e. as raízes da matriz de polinômios A - s B. Auto valores generalizados alpha e beta são tais que a matriz A - alpha./beta B é uma matriz singular. Os autovalores são dados por al./be e se beta(i) = 0 o i-ésimo autovalor está no infinito. (Para B = eye(A), alpha./beta é spec(A)). É usualmente representado pelo par (alpha,beta), já que há uma interpretação razoável para beta=0, e até mesmo para os dois sendo zero.

[alpha,beta,R] = spec(A,B)

retorna, ainda, a matriz R de autovetores direitos generalizados do feixe.

[al,be,Q,Z] = spec(A,B)

rretorna ainda a matriz Q e Z de autovetores esquerdos e direitos generalizados do feixe.

Referências

As computações de autovalores de matrizes são baseadas nas rotinas Lapack

• DGEEV e ZGEEV quando as matrizes não são simétricas,

• DSYEV e ZHEEV quando as matrizes são simétricas.

Uma matriz de complexos simétrica tem termos fora da diagonal conjugados e termos diagonais reais.

As computações de autovalores de feixes são baseadas nas rotinas Lapack DGGEV e ZGGEV.

Matrizes de reais e de complexos

Deve-se notar que o tipo das variáveis de saída, tais como evals ou R por exemplo, não é necessariamente o mesmo das que das matrizes de entrada A e B. No parágrafo seguinte, análisamos o tipo das variáveis de saída no caso onde nos casos onde se computa os autovalores e autovetores de uma única matriz A.

• Matriz A de reais

  • Simétrica

    Os autovetores e autovalores são reais.

  • Não simétrica

    Os autovetores e autovalores são complexos.

• Matriz A de complexos

  • Simétrica

    Os autovalores são reais, mas os autovetores são complexos.

  • Não simétrica

    Os autovetores e autovalores são complexos.

Exemplos

// AUTOVALORES DA MATRIZ
A=diag([1,2,3]);
X=rand(3,3);
A=inv(X)*A*X;
spec(A)
//
x=poly(0,'x');
pol=det(x*eye()-A)
roots(pol)
//
[S,X]=bdiag(A);
clean(inv(X)*A*X)

// AUTOVALORES DO FEIXE
A=rand(3,3);
[al,be,R] = spec(A,eye(A));
al./be
clean(inv(R)*A*R)  //exibindo os autovalores (matriz genérica)
A=A+%i*rand(A);
E=rand(A);
roots(det(A-%s*E))   //caso de complexos

Ver Também

• poly
• det
• schur
• bdiag
• colcomp