Scilab 6.0.1
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lqr
LQ補償器 (全状態)
呼出し手順
[K,X]=lqr(P12)
パラメータ
- P12
syslinリスト (状態空間線形システム)- K,X
実数行列
説明
lqr は,連続系または離散時間系のプラント
P12=[A,B2,C1,D12]の
線形最適LQ全状態ゲインを計算します.
P12 は syslin リスト
(例:P12=syslin('c',A,B2,C1,D12))です.
評価関数はz=C1 x + D12 uの時のz'*zの
L2ノルム,すなわち, [x,u]' * BigQ * [x;u]
です.ただし,
[C1' ] [Q S] BigQ= [ ] * [C1 D12] = [ ] [D12'] [S' R]
ゲイン K は A + B2*K が安定になるように
選ばれます.
Xはリカッチ方程式の安定化解です.
連続系プラントの場合:
K=-inv(R)*(B2'*X+S)
離散時間系プラントの場合:
X=A'*X*A-(A'*X*B2+C1'*D12)*pinv(B2'*X*B2+D12'*D12)*(B2'*X*A+D12'*C1)+C1'*C1;
K=-pinv(B2'*X*B2+D12'*D12)*(B2'*X*A+D12'*C1)
X と等価な形式は,
ただし, Abar=A-B2*inv(R)*S' および
Qbar=Q-S*inv(R)*S'となります.
リカッチ方程式に関連する3ブロック行列ペンシルは次のようになります:
discrete continuous |I 0 0| | A 0 B2| |I 0 0| | A 0 B2| z|0 A' 0| - |-Q I -S| s|0 I 0| - |-Q -A' -S| |0 B2' 0| | S' 0 R| |0 0 0| | S' -B2' R|
注意: 行列Rは非特異であるとします. 特に, プラントは縦長 (出力の数 >= 入力の数)である 必要があります.
例
A=rand(2,2);B=rand(2,1); //two states, one input Q=diag([2,5]);R=2; //Usual notations x'Qx + u'Ru Big=sysdiag(Q,R); //Now we calculate C1 and D12 [w,wp]=fullrf(Big);C1=wp(:,1:2);D12=wp(:,3:$); //[C1,D12]'*[C1,D12]=Big P=syslin('c',A,B,C1,D12); //The plant (continuous-time) [K,X]=lqr(P) spec(A+B*K) //check stability norm(A'*X+X*A-X*B*inv(R)*B'*X+Q,1) //Riccati check P=syslin('d',A,B,C1,D12); // Discrete time plant [K,X]=lqr(P) spec(A+B*K) //check stability norm(A'*X*A-(A'*X*B)*pinv(B'*X*B+R)*(B'*X*A)+Q-X,1) //Riccati check
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