ode

Parâmetros

y0

matriz ou vetor de reais (condições iniciais).

t0

escalar real (tempo inicial).

t

vetor de reais (tempos nos quais a solução é computada).

f

função externa (função, lista ou string).

type

um dos strings seguintes: "adams" "stiff" "rk" "rkf" "fix" "discrete" "roots"

rtol,atol

constantes reais ou vetores com o mesmo tamanho que y.

jac

função externa (função, lista ou string).

w,iw

vetores de reais

ng

inteiro

g

função externa (função, lista ou string).

k0

inteiro (tempo inicial).

kvect

vetor de inteiros.

Descrição

ode é a função padrão para se resolver sistemas de EDO explícitos definidos por: dy/dt=f(t,y) , y(t0)=y0. É uma interface entre vários solucionadores, em particular a ODEPACK. O tipo de problema resolvido e o método a ser utilizado dependem do primeiro argumento opcional type que pode ser um dos strings seguintes:

<not given>:

O lsoda, solucionador do pacote ODEPACK é chamado por padrão. Ele escolhe automaticamente entre o método preditor-corretor não-rígido de Adams e a Fórmula de Diferenciação Retroativa (FDR) rígida. Ele utiliza o método não rígido inicialmente e monitora os dados para decidir qual método utilizar.

"adams":

Este é para problemas não rígidos. O solucionador lsode do pacote ODEPACK é chamado e utiliza o método de Adams.

"stiff":

Este é para problemas rígidos. O solucionador lsode do pacote ODEPACK é chamado e é utilizado o método FDR.

"rk":

Método adaptativo de Runge-Kutta de ordem 4 (RK4).

"rkf":

O programa de Shampine e Watts baseado no par Runge-Kutta de Fehlberg de ordem 4 e 5 (RKF45) é utilizado. Este é utilizado para problemas não-rígidos e mediamente rígidos quando as computações de derivação não são custosas. Este método não é recomendado ser utilizado quando o usuário requer uma maior precisão.

"fix":

Mesmo solucionador que "rkf", mas a interface do usuário é bem simples, i.e. apenas os parâmetros rtol e atol podem ser passados ao solucionador. Este é o método mais simples a se tentar.

"root":

Solucionador de EDOs com capacidade de encontrar raízes. O solucionador lsodar do pacote ODEPACK é utilizado. É uma variante do solucionador lsoda onde se acha raízes de uma dada função vetorial. Ver ajuda em ode_root para mais detalhes.

"discrete":

Simulação de tempo discreto. Ver ajuda em ode_discrete para mais detalhes.

Nesta ajuda podemos apenas descrever o uso de ode para sistemas padrões explícitos EDOs .

• A chamada mais simples a ode é: y=ode(y0,t0,t,f) onde y0 é o vetor de condições iniciais, t0 é o tempo inicial, t é o vetor de tempos onde a solução y é computada e y é a matriz de vetores soluções y=[y(t(1)),y(t(2)),...].

  O argumento de entrada f define o lado direito da equação diferencial de primeira ordem: dy/dt=f(t,y). É uma função externa, isto é, uma função com sintaxe especificada, ou o nome de uma subrotina Fortran ou uma subfunção C (string) com seqüência de chamamento especificada, ou uma lista:

  • Se f for uma função do Scilab, a sua sintaxe deve ser ydot = f(t,y), onde t é um escalar real (tempo) e y é um vetor de reais (estado). ydot é um vetor de reais (dy/dt)

  • Se f é um string ele se refere ao nome de uma subrotina Fortran ou uma subfunção C, i.e. Se ode(y0,t0,t,"fex") for o comando, então a subrotina fex será chamada.

    A rotina Fortran deve ter a seguinte seqüência de chamamento: fex(n,t,y,ydot), com n um inteiro, t um escalar de dupla precisão, y e ydot vetores de dupla precisão.

    A função C deve ter o seguinte protótipo: fex(int *n,double *t,double *y,double *ydot)

    t é o tempo, y o estado e ydot a derivada do estado (dy/dt)

    Esta função externa pode ser construída em um SO de modo indpendente através de ilib_for_link e ligada dinamicamente através da função do Scilab link.

  • O argumento f também pode ser uma lista com a seguinte estrutura: lst=list(realf,u1,u2,...un) onde realf é uma função do Scilab com a sintaxe: ydot = f(t,y,u1,u2,...,un)

    Esta sintaxe permite utilizar parâmetros como argumentos de realf.

  A função f pode retornar uma matriz p x q ao invés de um vetor. Com esta notação de matriz, nos resolvemos o sistema n=p+q de EDOs dY/dt=F(t,Y) onde Y é uma matriz p x q matrix. Então, as condições iniciais, Y0, também devem ser uma matriz p x q e o resultado de ode é a matriz p x q(T+1) [Y(t_0),Y(t_1),...,Y(t_T)].

• Argumentos de entrada opcionais podem ser fornecidos para o erro da solução: rtol e atol são limiares para os erros relativos e absolutos estimados. O erro estimado em y(i) é: rtol(i)*abs(y(i))+atol(i)

  e uma intergração é feita enquanto este erro é pequeno para todos os componentes do estado. Se rtol e/ou atol for uma constante rtol(i) e/ou atol(i) são ajustados para esta constante. Os valores padrões para rtol e atol são respectivamente rtol=1.d-5 e atol=1.d-7 para a maior parte dos solucionadores rtol=1.d-3 e atol=1.d-4 para "rfk" e "fix".

• Para problemas rígidos, é melhor fornecer o Jacobiano da função do lado direito da equação como o argumento opcional jac. É uma função externa, istoé i.e. uma função com sintaxe especificada, ou o nome de uma subrotina Fortran ou uma subfunção C (string) com seqüência de chamamento especificada, ou uma lista.

  Se jac for uma função, a sintaxe deve ser J=jac(t,y)

  onde t é um escalar real (tempo), y é um vetor de reais (estado). A matriz resultante J deve fornecer df/dx i.e. J(k,i) = dfk/dxi com fk = k-ésimo componente de f.

  Se jac for um sting, ele se refere a uma subrotina Fortran, ou uma subfunção C, com as seguinte seqüência de chamamento:

  No caso Fortran:

  subroutine fex(n,t,y,ml,mu,J,nrpd) 
  integer n,ml,mu,nrpd
  double precision t,y(*),J(*)

  No caso C:

  void fex(int *n,double *t,double *y,int *ml,int *mu,double *J,int *nrpd,)

  jac(n,t,y,ml,mu,J,nrpd). Na maior parte dos casos, você não tem que se referir a ml, mu e nrpd.

  Se jac for uma lista, as mesmas convenções que para f se aplicam.

• Os argumentos opcionais w e iw e vetores para armazenamento de informações podem ser retornados pela rotina de integração (ver ode_optional_output para detalhes). Queando esses vetores são fornecidos no lado direito de ode, a integração reinicia com os mesmos parâmetros da parada anteiror.

• Mais opções podem ser fornecidas a solucionadores ODEPACK utilizando-se a variável %ODEOPTIONS. Ver odeoptions.

Exemplos

// ----------  EDO simples de uma dimensão (função externa do Scilab)
// dy/dt=y^2-y sin(t)+cos(t), y(0)=0
function ydot=f(t, y),ydot=y^2-y*sin(t)+cos(t),endfunction
y0=0;t0=0;t=0:0.1:%pi;
y=ode(y0,t0,t,f)
plot(t,y)

// ---------- EDO simples de uma dimensão (função externa codificada em C)
ccode=['#include <math.h>'
       'void myode(int *n,double *t,double *y,double *ydot)'
       '{'
       '  ydot[0]=y[0]*y[0]-y[0]*sin(*t)+cos(*t);'
       '}']
mputl(ccode,TMPDIR+'/myode.c') //criando o arquivo C
ilib_for_link('myode','myode.c',[],'c',TMPDIR+'/Makefile',TMPDIR+'/loader.sce');//compilando
exec(TMPDIR+'/loader.sce') //linking incremental
y0=0;t0=0;t=0:0.1:%pi;
y=ode(y0,t0,t,'myode');
    
// ---------- Simulação de dx/dt = A x(t) + B u(t) com u(t)=sin(omega*t),
// x0=[1;0]
// solução x(t) desejada em t=0.1, 0.2, 0.5 ,1.
// A e a função u são passados para a função do lado direito em uma lista. 
// B e omega são passados como variáveis globais
function xdot=linear(t, x, A, u),xdot=A*x+B*u(t),endfunction
function ut=u(t),ut=sin(omega*t),endfunction
A=[1 1;0 2];B=[1;1];omega=5;
ode([1;0],0,[0.1,0.2,0.5,1],list(linear,A,u))

// ---------- Integração com notação matricial da equação diferencial de Ricatti
// Xdot=A'*X + X*A - X'*B*X + C , X(0)=Identity
// Solução em t=[1,2] 
function Xdot=ric(t, X),Xdot=A'*X+X*A-X'*B*X+C,endfunction  
A=[1,1;0,2]; B=[1,0;0,1]; C=[1,0;0,1];
t0=0;t=0:0.1:%pi;
X=ode(eye(A),0,t,ric)

// ---------- Notação matricial, computação de exp(A)
A=[1,1;0,2];
function xdot=f(t, x),xdot=A*x;,endfunction 
ode(eye(A),0,1,f)
ode("adams",eye(A),0,1,f)

// ---------- Notação de matriz, computação de exp(A) com matriz rígida, Jacobian fornecida
A=[10,0;0,-1];
function xdot=f(t, x),xdot=A*x,endfunction 
function J=Jacobian(t, y),J=A,endfunction 
ode("stiff",[0;1],0,1,f,Jacobian)

Ver Também

• ode_discrete
• ode_root
• dassl
• impl
• odedc
• odeoptions
• csim
• ltitr
• rtitr

Autor

Alan C. Hindmarsh

, mathematics and statistics division, l-316 livermore, ca 94550.19

Bibliografia

Alan C. Hindmarsh, lsode and lsodi, two new initial value ordinary differential equation solvers, acm-signum newsletter, vol. 15, no. 4 (1980), pp. 10-11.

Funções Utilizadas

As rotinas associadas podem ser encontradas no diretório SCI/modules/differential_equations/src/fortran:

lsode.f lsoda.f lsodar.f