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2024.1.0 - 日本語


sfact

離散時間スペクトル分解

呼び出し手順

F = sfact(P)

パラメータ

P

実多項式の正方行列.

説明

Pのスペクトル分解 Fを求めます. PPの各根が単位円に関する 鏡像となるような多項式行列です. 単位円上に根がある時,問題は特異となります.

sfact(P) は,安定ではない以下のような 多項式行列F(z)を返します.

P = F(z)* F(1/z) *z^n

スカラー多項式の場合,特殊なアルゴリズムが実装されています. アルゴリズムはKuceraの本によるものです.

// Simple polynomial example
p = (%z -1/2) * (2 - %z)
w = sfact(p);
w*(horner(w, 1/%z)).num

// matrix example
z = %z;
F1 = [z-1/2, z+1/2, z^2+2; 1, z, -z; z^3+2*z, z, 1/2-z];
P = F1*gtild(F1,'d');
F = sfact(P)
roots(det(P))
roots(det(gtild(F,'d')))  //The stable roots
roots(det(F))             //The antistable roots
clean(P-F*gtild(F,'d'))

// Example of continuous time use
s = %s;
p = -3*(s+(1+%i))*(s+(1-%i))*(s+0.5)*(s-0.5)*(s-(1+%i))*(s-(1-%i));
p = real(p);
// p(s) = polynomial in s^2 , looks for stable f such that p=f(s)*f(-s)
w = horner(p,(1-s)/(1+s));  // bilinear transform w=p((1-s)/(1+s))
wn = w.num;                 // take the numerator
fn = sfact(wn);
f = horner(fn,(1-s)/(s+1)).num;  // Factor and back transform
f = f/sqrt(horner(f*gtild(f,'c'),0));
f = f*sqrt(horner(p,0));   // normalization
roots(f)    // f is stable
clean(f*gtild(f,'c')-p)    // f(s)*f(-s) is p(s)

参照

  • gtild — チルダ処理
  • fspecg — 安定な因数分解
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Mon Jun 17 17:54:18 CEST 2024