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Ajuda Scilab >> Funções Especiais > besseli

besseli

funções modificadas de Bessel do primeiro tipo (I sub alfa).

besselj

funções de Bessel do primeiro tipo (J sub alpha).

besselk

funções modificadas de Bessel do segundo tipo (K sub alpha).

bessely

funções de Bessel do segundo tipo (Y sub alpha).

besselh

funções de Bessel do terceiro tipo (também conhecidas como funções de Hankel)

Seqüência de Chamamento

y = besseli(alpha,x [,ice])
y = besselj(alpha,x [,ice])
y = besselk(alpha,x [,ice])
y = bessely(alpha,x [,ice])
y = besselh(alpha,x)
y = besselh(alpha,K,x [,ice])

Parâmetros

x

vetor de reais ou complexos

alpha

vetor de reais

ice

flag (sinalizador) inteiro, com valor padrão 0

K

inteiro, com valores possíveis 1 ou 2, a função do tipo de Hankel.

Descrição

  • besseli(alpha,x) computa as funções de Bessel modificadas do primeiro tipo (I sub alfa), para ordem real alpha e argumento x. besseli(alpha,x,1) computa besseli(alpha,x).*exp(-abs(real(x))).

  • besselj(alpha,x) computa as funções de Bessel do primeiro tipo (J sub alfa), para ordem real alpha e argumento x. besselj(alpha,x,1) computa besselj(alpha,x).*exp(-abs(imag(x))).

  • besselk(alpha,x) computa as funções de Bessel modificadas do segundo tipo (K sub alfa), para ordem real alpha e argumento x. besselk(alpha,x,1) computa besselk(alpha,x).*exp(x).

  • bessely(alpha,x) computa as funções de Bessel do segundo tipo (Y sub alfa), para ordem real alpha e argumento x. bessely(alpha,x,1) computa bessely(alpha,x).*exp(-abs(imag(x))).

  • besselh(alpha [,K] ,x) computa as funções de Bessel do terceiro tipo (função de Hankel H1 ou H2, dependendo do K), para ordem real alpha e argumentot x. Se omitido, K é suposto como sendo 1. besselh(alpha,1,x,1) computa besselh(alpha,1,x).*exp(-%i*x) e besselh(alpha,2,x,1) computa besselh(alpha,2,x).*exp(%i*x)

Observações

Se alpha e x são arrays de mesmo tamanho, o resultado y também terá este tamanho. Se uma entrada é um escalar, ela é expandida para o tamanho da outra entrada. Se uma entrada é um vetor linha e a outra é um vetor coluna, o resultado y é um table 2-dimensional ("tabela") de valores de funções.

As funções de Bessel Y_alfa e J_alfa são duas soluções independentes da equação diferencial de Bessel:

2 2 2 x y" + x y' + (x - alfa ) y = 0 , alfa >= 0

As funções modificadas de Bessel K_alfa e I_alfa são duas soluções independentes para a equação diferencial de Bessel :

2 2 2 x y" + x y' - (x + alfa ) y = 0 , alfa >= 0

As funções de Hankel de primeiro e segundo tipos H^1_alfa e H^2_alfa, são combinações lineares das funções de Bessel de primeiro e segundo tipos:

H^1_alfa(z) = J_alfa(z) + i Y_alfa(z) H^2_alfa(z) = J_alfa(z) - i Y_alfa(z)

Exemplos

//  Funções I de Bessel
// ==================
x = linspace(0.01,10,5000)';
clf()
subplot(2,1,1)
plot2d(x,besseli(0:4,x), style=2:6)
legend('I'+string(0:4),2);
xtitle("Algumas funções modificadas de Bessel do primeiro tipo")
subplot(2,1,2)
plot2d(x,besseli(0:4,x,1), style=2:6)
legend('I'+string(0:4),1);
xtitle("Algumas funções modificadas de Bessel do primeiro tipo escaladas")

// Funções J de Bessel
// =================
x = linspace(0,40,5000)';
clf()
plot2d(x,besselj(0:4,x), style=2:6, leg="J0@J1@J2@J3@J4")
legend('I'+string(0:4),1);
xtitle("Algumas funções de Bessel do primeiro tipo")

// Usando o fato de que J_(1/2)(x) = sqrt(2/(x pi)) sin(x)
// Para comparar o algoritmo de besselj(0.5,x) com uma fórmula mais direta 
x = linspace(0.1,40,5000)';
y1 = besselj(0.5, x);
y2 = sqrt(2 ./(%pi*x)).*sin(x);
er = abs((y1-y2)./y2);
ind = find(er > 0 & y2 ~= 0);
clf()
subplot(2,1,1)
plot2d(x,y1,style=2)
xtitle("besselj(0.5,x)")
subplot(2,1,2)
plot2d(x(ind), er(ind), style=2, logflag="nl")
xtitle("Erro relativo entre as duas fórmulas para besselj(0.5,x)") 

// Funções K de Bessel
// =================
x = linspace(0.01,10,5000)';
clf()
subplot(2,1,1)
plot2d(x,besselk(0:4,x), style=0:4, rect=[0,0,6,10])
legend('K'+string(0:4),1);
xtitle("Algumas funções modificadas de Bessel do segundo tipo")
subplot(2,1,2)
plot2d(x,besselk(0:4,x,1), style=0:4, rect=[0,0,6,10])
legend('K'+string(0:4),1);
xtitle("Algumas funções modificadas de Bessel do segundo tipo escaladas")

// Funções Y de Bessel
// =================
x = linspace(0.1,40,5000)'; // funções Y de Bessel não possuem limite para x -> 0+
clf()
plot2d(x,bessely(0:4,x), style=0:4, rect=[0,-1.5,40,0.6])
legend('Y'+string(0:4),4);
xtitle("Algumas funções de Bessel do segundo tipo")

// Funções H de Bessel
// =================
x=-4:0.025:2; y=-1.5:0.025:1.5;
[X,Y] = ndgrid(x,y);
H = besselh(0,1,X+%i*Y); 
clf();f=gcf();
xset("fpf"," ")
f.color_map=jetcolormap(16);
contour2d(x,y,abs(H),0.2:0.2:3.2,strf="034",rect=[-4,-1.5,3,1.5])
legends(string(0.2:0.2:3.2),1:16,"ur")
xtitle("Curvas de nível de |H1(0,z)|")

Autores

  • Amos, D. E., (SNLA)
  • Daniel, S. L., (SNLA)
  • Weston, M. K., (SNLA)

Função Usada

Os códigos-fontes podem ser achados em SCI/modules/special_functions/src/fortran/slatec e SCI/modules/special_functions/src/fortran

Slatec : dbesi.f, zbesi.f, dbesj.f, zbesj.f, dbesk.f, zbesk.f, dbesy.f, zbesy.f, zbesh.f

Drivers para estender a área de definição (Serge Steer INRIA): dbesig.f, zbesig.f, dbesjg.f, zbesjg.f, dbeskg.f, zbeskg.f, dbesyg.f, zbesyg.f, zbeshg.f

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Tue Apr 02 17:37:05 CEST 2013