splin

Parâmetros

x

um vetor (linha ou coluna) estritamente crescente (x deve ter pelo menos dois componentes)

y

um vetor com o mesmo formato que x

spline_type

(opcional) um string selecionando o tipo de spline a ser computado

der

(optional) um vetor com dois componentes, com as derivadas nas extremidades (a ser fornecido quando spline_type="clamped")

d

vetor com o mesmo formato que x (di é a derivada do spline em xi)

Descrição

Esta função computa o spline cúbico ou sub-spline s que interpola os pontos (xi,yi) i.e., temos s(xi)=yi para todo i=1,..,n. O spline resultante s é completamente definido pela tripla (x,y,d) onde d é o vetor com as derivadas nos xi: s'(xi)=di (esta forma é chamada de forma de Hermite ou hermitiana ). A avaliação do spline em alguns pontos deve ser feita pela função interp. Vários tipos de splines podem ser computados selecionando o parâmetro spline_type apropriado:

"not_a_knot"

este é o caso padrão, o spline cúbico é computado sob as seguintes condições (considerando n pontos x1,...,xn):

s'''(x2-) = s'''(x2+)
s'''(x{n-1}-) = s'''(x{n-1}+)

"clamped"

neste caso, o spline cúbico é computado usando derivadas nas extremidades do intervalo que devem ser fornecidas como último argumento der:

s'(x1) = der(1)
s'(xn) = der(2)

"natural"

o spline cúbico é computado sob as seguintes condições:

s''(x1) = 0
s''(xn) = 0

"periodic"

um spline cúbico periódico é computado (y deve verificar y1=yn) sob as seguintes condições:

s'(x1) = s'(xn)
s''(x1) = s''(xn)

"monotone"

neste caso, um sub-spline (s é apenas uma vez continuamente diferenciável) é computado usando um esquema local para os di tais que s é monótono em cada intervalo:

if y(i) <= y(i+1)  s é crescente em [x(i), x(i+1)]
if y(i) >= y(i+1)  s é decrescente em [x(i), x(i+1)]

"fast"

neste caso, um sub-spline também é computado usando um esquema local simples para os di : d(i) é a derivada em x(i) da interpolação polinomial (x(i-1),y(i-1)), (x(i),y(i)),(x(i+1),y(i+1)), exceto pelas extremidades (d1 sendo computado a partir dos 3 pontos mais à esquerda e dn dos 3 pontos mais à direita).

"fast_periodic"

é o mesmo que o anterior, mas também usa uma fórmula centrada para d1 = s'(x1) = dn = s'(xn) através da periodicidade da função subjacente (y deve verificar y1=yn).

Observações

De um ponto de vista de precisão, use essencialmente o tipo clamped se você conhece as derivadas nas extremidades, de outro modo, use not_a_knot. Mas se a função subjacente aproximada é periódica, use o tipo periodic Sob boas suposições, estes tipos de spline têm um comportamento assintótico O(h^4) do erro. Não use o tipo natural a não ser que a função subjacente possua zero derivadas segundas nas extremidades.

Os tipos monotone, fast (ou fast_periodic) podem ser úteis e alguns caso, por exemplo, para limitar oscilações (estes tipos de sub-splines têm um comportamento assintótico O(h^3) do erro).

Se n=2 (e spline_type não é clamped) é usada interpolação linear. Se n=3 e spline_type é not_a_knot, então, um sub-spline tipo fast é computado, na verdade.

Exemplos

// exemplo 1
deff("y=runge(x)","y=1 ./(1 + x.^2)")
a = -5; b = 5; n = 11; m = 400;
x = linspace(a, b, n)';
y = runge(x);
d = splin(x, y);
xx = linspace(a, b, m)';
yyi = interp(xx, x, y, d);
yye = runge(xx);
clf()
plot2d(xx, [yyi yye], style=[2 5], leg="interpolação por@função exata")
plot2d(x, y, -9)
xtitle("Intepolação da função de Runge")

// exemplo 2 : mostra comportamento de splines diferentes em dados aleatórios
a = 0; b = 1;        // intervalo de interpolação
n = 10;              // número de pontos de interpolação
m = 800;             // discretização para avaliação
x = linspace(a,b,n)'; // abscissas dos pontos de interpolação
y = rand(x);          // ordenadas dos pontos de interpolação
xx = linspace(a,b,m)';
yk = interp(xx, x, y, splin(x,y,"not_a_knot"));
yf = interp(xx, x, y, splin(x,y,"fast"));
ym = interp(xx, x, y, splin(x,y,"monotone"));
clf()
plot2d(xx, [yf ym yk], style=[5 2 3], strf="121", ...
       leg="fast@monotone@spline not a knot")
plot2d(x,y,-9, strf="000")  // para mostrar pontos de interpolação
xtitle("Vários splines e sub-splines em dados aleatórios")
show_window()

Ver Também

• interp — função de avaliação de spline cúbico
• lsq_splin — ajuste ponderado por spline cúbico de mínimos quadrados

Autores

• B. Pincon
• F. N. Fritsch (rotina pchim.f Slatec é usada para interpolação monótona)