パラメータ

A

実数または複素数ベクトル, 実数または複素数配列(ベクトル, 行列またはN-D配列).

X

Aと同じ形状の実数または複素数配列

sign

an integer. with possible values 1 or -1. Select direct or inverse transform. The default value is -1 (direct transform).

option

文字列. 指定可能な値は "symmetric" または "nonsymmetric"です. Aが対称かどうかを示します. この引数が省略された場合,アルゴリズムは Aが対称かどうかを自動的に定義します. 詳細は説明のパートを参照ください.

selection

A 配列の次元の添字を有するベクトル. 詳細は説明のパートを参照ください.

dims

整数値を有する正の数のベクトルまたは正の整数値のベクトル. 詳細は説明のパートを参照ください.

各要素はAの要素の総数の約数とする 必要があります.

要素の積はAの全要素数より 少ない必要があります.

incr

整数値を有する正の数のベクトルまたは正の整数値のベクトル. 詳細は説明のパートを参照ください.

incr は, dimsと同じ要素数とする必要があります.

各要素は Aの全要素数の約数とする必要があります.

incr要素は厳密に昇順とする必要があります.

説明

短縮構文

直接

X=fft(A,-1 [,option]) または X=fft(A [,option]) は直接変換を出力します.

単一変量

A が単一変量のベクトルの場合, 次のように直接FFTが計算されます:

(引数-1は指数の符号を示しており, "逆"ではありません),

多変量

Aが行列または多次元配列の場合, 多変量直接FFTが行われます.

逆

X=fft(A,1)または X=ifft(A) は, A==ifft(fft(A))のような 正規化された逆変換を実行します.

単一変量

A がベクトルの場合, 単一変量逆FFTが実行されます.

多変量

Aが行列または多次元配列の場合, 多変量逆FFTが実行されます.

多次元FFTの長い構文

• X=fft(A,sign,selection [,option]) により,選択した次元方向のAの "スライス"の直接または逆fftを効率的に実行することができます.

  例えば,A が3次元配列の場合, X=fft(A,-1,2)は以下と等価です:

  for i1=1:size(A,1)
    for i3=1:size(A,3)
      X(i1,:,i3)=fft(A(i1,:,i3),-1);
    end
  end

  X=fft(A,-1,[1 3])は以下と等価です:

  for i2=1:size(A,2)
    X(:,i2,:)=fft(A(:,i2,:),-1);
  end

• 前記の構文, X=fft(A,sign,dims,incr [,option]) は, 指定した次元方向に Aのスライスの 直接または逆fftを行うことも可能です.

  例えば, A が n1*n2*n3 個の要素を有する配列の場合, X=fft(A,-1,n1,1) は X=fft(matrix(A,[n1,n2,n3]),-1,1) と等価です. また、X=fft(A,-1,[n1 n3],[1 n1*n2]) は X=fft(matrix(A,[n1,n2,n3]),-1,[1,3]) と等価です.

option引数の使用法 この引数はAまたはその"スライス"全体 の対称性に関してfftアルゴリズムに情報を提供するために使用できます. 次元n1, ..., npの N次元配列B は, B==conj(B([1 n1:-1:2],[1 n2:-1:2],...,[1 np:-1:2])) の場合に限り,fftが共役対称です. このような場合, 結果Xは実数で,効率的な専用のアルゴリズムを 使用できます.

• "symmetric" は, Aまたはその全"スライス"を 共役対称として扱うfftを実行する値です. このオプションは, A またはその全"スライス" が 丸め誤差の影響で厳密に対称ではない場合に, 自動的な対称性の定義を回避したい場合に有用です.
• "nonsymmetric" は対称性を考慮せずに fftを実行する値です. このオプションは自動的な対称性の定義を 回避したい場合に有用です.
• unspecified このオプションが省略された場合,fftアルゴリズムは 自動的に正しい対称性を確認します.

fftの最適化

注意: fftw 関数は自動的に直近のパラメータをメモリに保存し, 2回目に再利用します. これにより,(同じパラメータで)連続的なコールを行った場合に 著しく計算時間が改善します.

get_fftw_wisdom, set_fftw_wisdom関数により 更にfftを最適化することができます.

アルゴリズム

この関数は,fftw3 ライブラリを 使用しています.

例

1次元fft

//Frequency components of a signal
//----------------------------------
// build a noised signal sampled at 1000hz  containing  pure frequencies
// at 50 and 70 Hz
sample_rate=1000;
t = 0:1/sample_rate:0.6;
N=size(t,'*'); //number of samples
s=sin(2*%pi*50*t)+sin(2*%pi*70*t+%pi/4)+grand(1,N,'nor',0,1);

y=fft(s);

//s is real so the fft response is conjugate symmetric and we retain only the first N/2 points
f=sample_rate*(0:(N/2))/N; //associated frequency vector
n=size(f,'*')
clf()
plot(f,abs(y(1:n)))

2次元fft

//----------------------------------
A = zeros(256,256);
A(5:24,13:17) = 1;
X = fftshift(fft(A));
set(gcf(),"color_map",jetcolormap(128));
clf;grayplot(0:255,0:255,abs(X)')

mupliple fft

//simple case, 3 1-D fft at a time
N=2048;
t=linspace(0,10,2048);
A=[2*sin(2*%pi*3*t)+ sin(2*%pi*3.5*t)
  10*sin(2*%pi*8*t)
   sin(2*%pi*0.5*t)+4*sin(2*%pi*0.8*t)];
X=fft(A,-1,2);

fs=1/(t(2)-t(1));
f=fs*(0:(N/2))/N; //associated frequency vector
clf;plot(f(1:100)',abs(X(:,1:100))')
legend(["3 and 3.5 Hz","8 Hz","0.5 and 0.8 Hz"],"in_upper_left")

// 45  3-D fft at a time
Dims=[5 4 9 5 6];
A=matrix(rand(1,prod(Dims)),Dims);

y=fft(A,-1,[2 4 5]);

//equivalent (but less efficient code)
y1=zeros(A);
for i1=1:Dims(1)
  for i3=1:Dims(3)
    ind=list(i1,:,i3,:,:);
    y1(ind(:))=fft(A(ind(:)),-1);
  end
end

//Using explicit formula for  1-D discrete Fourier transform
//------------------------------------------------
function xf=DFT(x, flag);
  n=size(x,'*');
  //Compute the n by n Fourier matrix
  if flag==1 then,//backward transformation
    am=exp(2*%pi*%i*(0:n-1)'*(0:n-1)/n);
  else //forward transformation
    am=exp(-2*%pi*%i*(0:n-1)'*(0:n-1)/n);
  end
  xf=am*matrix(x,n,1);//dft
  xf=matrix(xf,size(x));//reshape
  if flag==1 then,xf=xf/n;end
endfunction

//Comparison with the fast Fourier algorithm
a=rand(1,1000);
norm(DFT(a,1) - fft(a,1))
norm(DFT(a,-1) - fft(a,-1))

timer();DFT(a,-1);timer()
timer();fft(a,-1);timer()

参照

• corr — 相関 , 共分散
• fftw_flags — fftプランナアルゴリズム選択用手法を設定する
• get_fftw_wisdom — fftw wisdomを返す
• set_fftw_wisdom — fftw wisdomを設定
• fftw_forget_wisdom — fftw wisdomをリセット

参考文献

Matteo Frigo and Steven G. Johnson, "FFTW Documentation" http://www.fftw.org/#documentation