gmres

引数

A

n行n列行列またはA*xを返す関数. Aが関数の場合,以下のようなヘッダを有すること:

function y=A(x)

b

右辺ベクトル

x0

初期推定値ベクトル(デフォルト: zeros(n,1))

M

プリコンディショナ: n行n列行列（デフォルト: eye(n,n)）または M*xを返す関数. M が関数の場合,以下のようなヘッダを有すること:

function y=M(x)

rstr

リスタートまでの反復回数 (デフォルト: 10)

maxi

最大反復回数 (デフォルト: n)

tol

許容誤差 (デフォルト: 1e-6)

x

解のベクトル

err

最終残差ノルム

iter

実行した反復回数

flag

0 =

gmresは, maxi回の反復内に 指定した許容誤差に収束しました

1 =

指定した maxi回では収束しませんでした

res

残差ベクトル

説明

GMRES

線形システムAx=bをリスタート付きの Generalized Minimal residual法により解きます.

詳細

このアルゴリズムの詳細は以下の文献に記述されています :

"Templates for the Solution of Linear Systems: Building Blocks for Iterative Methods", Barrett, Berry, Chan, Demmel, Donato, Dongarra, Eijkhout, Pozo, Romine, and Van der Vorst, SIAM Publications, 1993 (ftp netlib2.cs.utk.edu; cd linalg; get templates.ps).

"Iterative Methods for Sparse Linear Systems, Second Edition" Saad, SIAM Publications, 2003 (ftp ftp.cs.umn.edu; cd dept/users/saad/PS; get all_ps.zip).

例

// A および M が行列の場合
A=[ 94  0   0   0    0   28  0   0   32  0  
    0   59  13  5    0   0   0   10  0   0  
    0   13  72  34   2   0   0   0   0   65 
    0   5   34  114  0   0   0   0   0   55 
    0   0   2   0    70  0   28  32  12  0  
    28  0   0   0    0   87  20  0   33  0  
    0   0   0   0    28  20  71  39  0   0  
    0   10  0   0    32  0   39  46  8   0  
    32  0   0   0    12  33  0   8   82  11 
    0   0   65  55   0   0   0   0   11  100];
b=ones(10,1);
[x,flag,err,iter,res] = gmres(A, b)
M = eye(10, 10);
[x,flag,err,iter,res] = gmres(A, b, 10, 1d-12, 20, M, zeros(10, 1))
// Aが行列, Mが関数の場合
A=[ 94  0   0   0    0   28  0   0   32  0  
    0   59  13  5    0   0   0   10  0   0  
    0   13  72  34   2   0   0   0   0   65 
    0   5   34  114  0   0   0   0   0   55 
    0   0   2   0    70  0   28  32  12  0  
    28  0   0   0    0   87  20  0   33  0  
    0   0   0   0    28  20  71  39  0   0  
    0   10  0   0    32  0   39  46  8   0  
    32  0   0   0    12  33  0   8   82  11 
    0   0   65  55   0   0   0   0   11  100];
b=ones(10,1);
function y=Mtimesx(x)
M = eye(10,10);
y = M*x;
endfunction
[x,flag,err,iter,res] = gmres(A, b, 10, 1d-12, 20, Mtimesx, zeros(10, 1))
// A が関数, M が行列の場合
function y=Atimesx(x)
A=[ 94  0   0   0    0   28  0   0   32  0  
    0   59  13  5    0   0   0   10  0   0  
    0   13  72  34   2   0   0   0   0   65 
    0   5   34  114  0   0   0   0   0   55 
    0   0   2   0    70  0   28  32  12  0  
    28  0   0   0    0   87  20  0   33  0  
    0   0   0   0    28  20  71  39  0   0  
    0   10  0   0    32  0   39  46  8   0  
    32  0   0   0    12  33  0   8   82  11 
    0   0   65  55   0   0   0   0   11  100];
 y = A * x;
 endfunction
 b = ones(10,1);
 M = eye(10, 10);
 [x,flag,err,iter,res] = gmres(Atimesx, b)
 [x,flag,err,iter,res] = gmres(Atimesx, b, 10, 1d-12, 20, M, zeros(10,1))
 // A および M が関数
 function y=Atimesx(x)
A=[ 94  0   0   0    0   28  0   0   32  0  
    0   59  13  5    0   0   0   10  0   0  
    0   13  72  34   2   0   0   0   0   65 
    0   5   34  114  0   0   0   0   0   55 
    0   0   2   0    70  0   28  32  12  0  
    28  0   0   0    0   87  20  0   33  0  
    0   0   0   0    28  20  71  39  0   0  
    0   10  0   0    32  0   39  46  8   0  
    32  0   0   0    12  33  0   8   82  11 
    0   0   65  55   0   0   0   0   11  100];
 y = A * x;
 endfunction
 function y=Mtimesx(x)
M = eye(10,10);
y = M*x;
endfunction
 [x,flag,err,iter,res] = gmres(Atimesx, b, 10, 1d-12, 20, Mtimesx, zeros(10,1))

参照

• conjgrad — 共役勾配ソルバ
• qmr — プリコンディショナ付きのQuasi Minimal Residual法