variancef

Paramètres

x

vecteur ou matrice réel(le) ou complexe

fre

vecteur ou matrice d'entiers positifs = fréquences: fre(i,j) est le nombre de fois que x(i,j) doit être compté. fre et x doivent être de même taille.

orien

l'orientation du calcul. Les valeurs acceptées sont:

• 1 ou "r" : le résultat est une ligne, après un calcul en colonne.
• 2 ou "c" : le résultat est une colonne, après un calcul en ligne.
• "*" : calcul tous les éléments de x confondus (mode utilisé par défaut); utile si le 3ème paramètre m doit par ailleurs être indiqué.

m

Espérance mathématique de la loi de distribution de probabilité sous-jacente (supposée connue).

• "*" mode (par défaut): m doit être scalaire
• mode "r" or 1 : m un vecteur ligne à size(x,2) éléments. La variance des éléments de la colonne #j de x est calculée en utilisant m(j) comme moyenne pour la colonne. Si m est la même pour toutes les colonnes, sa valeur scalaire peut être fournie au lieu d'une ligne.
• mode "c" ou 2 : m un vecteur colonne à size(x,1) éléments. La variance des éléments de la ligne #i de x est calculée en utilisant m(i) comme moyenne pour la ligne. Si m est la même pour toutes les lignes, sa valeur scalaire peut être fournie au lieu d'une colonne.

Lorsque m n'est pas indiquée, la variance est estimée en divisant par (n-1) (non n) la distance quadratique totale des n valeurs à la moyenne calculée mean(x)(ou mean(x,"c") ou mean(x,"r")) (n vaut length(x) ou size(x,1) ou size(x,2)). Si les éléments de x sont indépendants entre eux, l'estimation de la variance retournée est non biaisée.

Sinon, la variance est estimée en divisant par n (au lieu de n-1) la distance quadratique totale des valeurs x(k) à m (n valant toujours length(x) ou size(x,1) ou size(x,2)). Alors :

• Si une véritable valeur m indépendante des éléments de x est fournie, elle est utilisée comme moyenne de référence dans le calcul de la variance. La valeur obtenue et retournée pour celle-ci est alors réputée non biaisée.
• Si la valeur spéciale m=%nan est fournie, la variance est toujours "normalisée" par n (non n-1) mais est estimée en utilisant l'estimation "empirique" m=mean(x) de la moyenne de référence (ou m = mean(x,"c") ou m = mean(x,"r")). Comme m=%nan n'apporte aucune information nouvelle à "l'équation", celle-ci retourne une estimation biaisée de la variance.

s

Estimation de la variance des valeurs de x (pondérées). s est un scalaire ou un vecteur ligne ou colonne selon l'option orien utilisée.

mc

Moyenne pondérée calculée à partir de x (= mean(x,..)) et utilisée comme référence dans le calcul de la variance. Valeur scalaire ou en vecteur colonne ou ligne, selon l'option orien utilisée.

Description

Cette fonction calcule la variance des valeurs d'un vecteur ou une matrice x, chacun des x(i,j) étant compté fre(i,j) fois. If x est complexe, alors variancef(x, fre,..) = variancef(real(x), fre,..) + variancef(imag(x), fre,..) est retourné.

s = variancef(x,fre) (ou s=variancef(x,fre,"*")) retourne la variance scalaire calculée à partir de toutes les valeurs de x.

s = variancef(x,fre,"r")(ou s = variancef(x,fre,1)) retourne un vecteur ligne s tel que pour chaque j, s(j) = variancef(x(:,j),fre(:,j),..).

s = variancef(x,fre,"c")(ou s = variancef(x,fre,2)) retourne un vecteur colonne s tel que pour chaque i, s(i) = variancef(x(i,:),fre(i,:),..).

Quand la moyenne m est fournie, elle est utilisée comme référence dans le calcul de la variance au lieu d'être évaluée intérieurement à partir de x (à moins qu'elle ne soit égale à %nan : Voir la description de m). Ceci permet de calculer la variance d'un échantillon x en regard d'un modèle statistique donné (plutôt que d'extraire une dispersion empirique pour construire le modèle).

Exemples

x = [0.2113249 0.0002211 0.6653811; 0.7560439 0.9546254 0.6283918]
fre = [1 2 3; 3 4 3]
[s, m] = variancef(x, fre)
[s, m] = variancef(x, fre, "r")
[s, m] = variancef(x, fre, "c")

// Exemple #2:
x0 = grand(20, 7, "uin", -9,10)+0.4
x = matrix((-9:10)+0.4, 5, 4)
fre = members(x, x0)        // Calcule les fréquences des éléments de x dans x0
[s, m] = variancef(x, fre)  // Doit être égal à variance(x0)
[s, m] = variance(x0)

// Exemple #2 (suite):
m = (-9+10)/2+0.4               // Moyenne asymptotique connue (si x0 avait un nombre infini d'éléments)
s = variancef(x, fre, "*", m)   // Variance "échantillon" en regard de la vraie moyenne
s0 = (10 - (-9))^2 /12          // Variance asymptotique connue
s2 = variancef(x, fre, "*", %nan)

Voir aussi

• variance — variance d'un vecteur, matrice (voire hypermatrice) de nombres réels ou complexes
• mtlb_var — Matlab var emulation function
• stdevf — standard deviation

Bibliographie

Wonacott, T.H. & Wonacott, R.J.; Introductory Statistics, fifth edition, J.Wiley & Sons, 1990.

Historique