ode

Paramètres

y0

vecteur ou matrice réelle (conditions initiales).

t0

réel (instant initial).

t

vecteur réel (instants où la solution est renvoyée).

f

fonction externe (fonction Scilab ou chaîne de caractères ou liste).

type

une des chaînes de caractères : "adams" "stiff" "rk" "rkf" "fix" "discrete" "roots"

rtol,atol

constantes ou vecteurs réels de même taille que y.

jac

fonction externe (fonction Scilab, chaîne de caractères ou liste).

w,iw

vecteurs réels

ng

entier

g

fonction externe (fonction Scilab, chaîne de caractères ou liste).

k0

entier (instant initial).

kvect

vecteur d'entiers.

Description

ode est la fonction utilisée pour approcher la solution d'une équation différentielle ordinaire (EDO) explicite du premier ordre en temps, définie par : dy/dt=f(t,y) , y(t0)=y0. Il s'agit d'une interface vers diverses bibliothèques, en particulier ODEPACK. Le type du problème et la méthode utilisée dépendent de la valeur du premier argument optionnel type qui peut être égal à :

<aucun> :

le solveur lsoda du package ODEPACK est utilisé par défaut. Il choisit automatiquement entre un schéma prédicteur-correcteur d'Adams et un schéma adapté au systèmes raides (stiff) de type "Backward Differentiation Formula" (BDF). Initialement le schéma adapté aux système non raides est choisi puis la méthode adaptée est ensuite choisie dynamiquement.

"adams" :

Problèmes non raides. Le solveur lsode du package ODEPACK est utilisé (schéma d'Adams).

"stiff" :

Pour les systèmes raides. Le solveur lsode du package ODEPACK est utilisé avec le schéma BDF.

"rk" :

Schéma de Runge-Kutta adaptatif d'ordre 4 (RK4).

"rkf" :

Formules de Shampine et Watts basées sur les paires de Runge-Kutta Fehlberg d'ordre 4 et 5 (RKF45). Bien pour les problèmes non raides ou moyennement raides, lorsque le calcul du second membre n'est pas trop coûteux. Cette méthode est à éviter si l'on recherche une très grande précision.

"fix":

Identique à "rkf", mais l'interface est simplifiée, i.e. uniquement rtol et atol sont communiqués au solveur.

"root":

Solveur d'EDO avec recherche de racines. Le solveur lsodar du package ODEPACK est utilisé. C'est une variante de lsoda permettant la recherche d'une racine d'une fonction vectorielle donnée. Voir ode_root pour plus de détails.

"discrete":

Simulation en temps discret. Voir ode_discrete pour plus de détails.

Ici on ne décrit l'usage de ode que pour des EDO explicites.

• L'appel le plus simple de ode est du type : y=ode(y0,t0,t,f) où y0 est le vecteur des conditions initiales, t0 est le temps initial, et t est le vecteur des instants où l'on veut une approximation de la solution. y est calculée et y est la matrice y=[y(t(1)),y(t(2)),...].

  Le paramètre d'entrée f de ode défini le membre de droite de léquation différentielle du premier ordre dy/dt=f(t,y). C'est un external qui peut être :

  • Soit une fonction Scilab, sa syntaxe doit être ydot = f(t,y) où t est un scalaire (le temps), y un vecteur (l'état). Cette fonction renvoie le second membre de l'équation différentielle dy/dt=f(t,y).

  • Soit une chaîne de caractères, elle désigne le nom d'une subroutine Fortran ou une procédure C, i.e. si ode(y0,t0,t,"fex") est la commande, alors la procedure fex est appelée.

    Si c'est une subroutine Fortran, sa liste d'appel doit être

    subroutine fex(n,t,y,ydot) 
    integer n
    double precision t,y(*),ydot(*)

    Si c'est une fonction C son prototype doit être:

    void fex(int *n,double *t,double *y,double *ydot)

    Cet external peut être compilé par l'utilitaire ilib_for_link et chargé dynamiquement par la fonction link.

  • Soit une liste avec la structure suivante list(vrai_f,u1,u2,...un) où vrai_f est une fonction avec la syntaxe ydot = vrai_f(t,y,u1,u2,...,un)

    Cette syntaxe permet de passer des paramètres sous forme d'arguments supplémentaires de vrai_f.

  La fonction f peut renvoyer une matrice p x q au lieu d'un vecteur. Dans ce cas, on résout le système d'EDO n=p+q dY/dt=F(t,Y) où Y est une matrice p x q. La condition initiale Y0 doit aussi être une matrice p x q matrix et le résultat renvoyé par ode est la matrice: p x q(T+1) égale à [Y(t_0),Y(t_1),...,Y(t_T)].

• Des paramètres optionnels contrôlent la tolérance du schéma : rtol et atol sont des valeurs seuil sur les erreurs estimées (relative et absolue) L'erreur estimée sur y(i) est rtol(i)*abs(y(i))+atol(i)

  Si rtol et/ou atol sont des constantes rtol(i) et/ou atol(i) prennent ces valeurs. Les valeurs par défaut de rtol et atol sont respectivement rtol=1.d-5 et atol=1.d-7 pour la plupart des solveurs et rtol=1.d-3 et atol=1.d-4 pour "rfk" et "fix".

• Pour les problèmes raides, il est recommandé de fournir la jacobienne du second membre sous forme de l'argument optionnel jac. Le paramètre jac de ode est par exemple une fonction Scilab, dont la syntaxe est imposée, ou le nom d'une subroutine Fortran ou C (chaîne de caractères) ou une liste.

  Si jac est une fonction Scilab sa syntaxe doit être J=jac(t,y)

  où t est un scalaire (le temps) et y un vecteur (l'état). La matrice J doit renvoyer df/dx i.e. J(k,i) = dfk /dxi avec fk = k-ième composante de f.

  Si f est une chaîne de caractères, elle désigne le nom d'une subroutine Fortran ou C.

  En Fortran, Cette routine doit avoir la liste d'appel suivante :

  subroutine fex(n,t,y,ml,mu,J,nrpd) 
  integer n,ml,mu,nrpd
  double precision t,y(*),J(*)

  Si c'est une fonction C son prototype doit être:

  void fex(int *n,double *t,double *y,int *ml,int *mu,double *J,int *nrpd,)

  Dans la plupart des cas il n'est pas nécessaire d'utiliser ml, mu et nrpd, qui sont relatif aà la possibilité de stockage "bande" du Jacobien

  Si jac est une liste, les mêmes conventions que pour f s'appliquent.

• Les arguments optionnels w et iw sont des vecteurs ou le solveur stocke des informations sur son état(voir ode_optional_output pour plus de détails) . Lorsque ces paramêtres sont utilisés comme argument d'entrée, ils permettent de redémarrer l'intégration au point où elle s'était arrêtée à la sortie d'un apple précédent à ode.

• Plus d'options peuvent être passées aux solveurs d'ODEPACK en utilisant la variable %ODEOPTIONS. Voir odeoptions.

Exemples

// ---------- EDO Simple  (external : fonction Scilab)
// dy/dt=y^2-y sin(t)+cos(t), y(0)=0
function ydot=f(t, y),ydot=y^2-y*sin(t)+cos(t),endfunction
y0=0;t0=0;t=0:0.1:%pi;
y=ode(y0,t0,t,f)
plot(t,y)

// ---------- EDO Simple  (external : code C)
ccode=['#include <math.h>'
       'void myode(int *n,double *t,double *y,double *ydot)'
       '{'
       '  ydot[0]=y[0]*y[0]-y[0]*sin(*t)+cos(*t);'
       '}']
mputl(ccode,TMPDIR+'/myode.c') //create the C file
ilib_for_link('myode','myode.c',[],'c',TMPDIR+'/Makefile',TMPDIR+'/loader.sce');//compile
exec(TMPDIR+'/loader.sce') //incremental linking
y0=0;t0=0;t=0:0.1:%pi;
y=ode(y0,t0,t,'myode');

// ---------- Simulation de dx/dt = A x(t) + B u(t) avec u(t)=sin(omega*t),
// x0=[1;0]
// solution x(t) desired at t=0.1, 0.2, 0.5 ,1.
// A and u function are passed to RHS function in a list. 
// B and omega are passed as global variables
function xdot=linear(t, x, A, u),xdot=A*x+B*u(t),endfunction
function ut=u(t),ut=sin(omega*t),endfunction
A=[1 1;0 2];B=[1;1];omega=5;
ode([1;0],0,[0.1,0.2,0.5,1],list(linear,A,u))

// ----------Integration de l'équation différentielle de Riccati (état matriciel)
// Xdot=A'*X + X*A - X'*B*X + C , X(0)=Identity
// Solution at t=[1,2] 
function Xdot=ric(t, X),Xdot=A'*X+X*A-X'*B*X+C,endfunction  
A=[1,1;0,2]; B=[1,0;0,1]; C=[1,0;0,1];
t0=0;t=0:0.1:%pi;
X=ode(eye(A),0,t,ric)

// ---------- Calcul de exp(A)  (état matriciel)
A=[1,1;0,2];
function xdot=f(t, x),xdot=A*x;,endfunction 
ode(eye(A),0,1,f)
ode("adams",eye(A),0,1,f)

// ----------  Calcul de exp(A)  (état matriciel, cas raide, jacobien fourni)
A=[10,0;0,-1];
function xdot=f(t, x),xdot=A*x,endfunction 
function J=Jacobian(t, y),J=A,endfunction 
ode("stiff",[0;1],0,1,f,Jacobian)

Voir aussi

• ode_discrete — ordinary differential equation solver, discrete time simulation
• ode_root — ordinary differential equation solver with root finding
• dassl — differential algebraic equation
• impl — differential algebraic equation
• odedc — discrete/continuous ode solver
• odeoptions — set options for ode solvers
• csim — simulation (time response) of linear system
• ltitr — discrete time response (state space)
• rtitr — discrete time response (transfer matrix)

Auteurs

Alan C. Hindmarsh

mathematics and statistics division, l-316 livermore, ca 94550.19

Bibliographie

Alan C. Hindmarsh, lsode and lsodi, two new initial value ordinary differential equation solvers, acm-signum newsletter, vol. 15, no. 4 (1980), pp. 10-11.

Fonctions Utilisées

Les sous programmes associés se trouvent dans le repertoire SCI/modules/differential_equations/src/fortran: lsode.f lsoda.f lsodar.f