backslash

Description

L'anti-slash représente la division matricielle à gauche. x=A\b est une solution de A*x=b.

Si A est carrée et régulière x=A\b (unique) est équivalent mathématiquement à x=inv(A)*b (dont le calcul est par contre beaucoup plus coûteux).

Si A n'est pas carrée, x est une solution au sens des moindres carrés, c'est à dire que norm(A*x-b) est minimale (norme euclidienne). Si A est de rang maximal (colonnes linéairement indépendantes), la solution au sens des moindres carrés, x=A\b, est unique (le vecteur x minimisant norm(A*x-b) est unique). Si A n'est pas de rang maximal, cette solution n'est pas unique, et x=A\b, en général, n'est pas la solution de norme minimale (la solution de norme minimale est x=pinv(A)*b).

A.\B est la matrice dont le terme (i,j) est égal à A(i,j)\B(i,j). Si A (ou B) est un scalaire A.\B est équivalent à A*ones(B).\B (or A.\(B*ones(A)).

A\.B est un opérateur dont la signification n'est pas prédéfinie. il peut être utilisé pour définir de nouveaux opérateurs (voir overloading) avec la même priorité que * ou /.

Exemples

A=rand(3,2);b=[1;1;1]; x=A\b; y=pinv(A)*b;  x-y
A=rand(2,3);b=[1;1]; x=A\b; y=pinv(A)*b; x-y, A*x-b, A*y-b

// Rang non maximal
A=rand(3,1)*rand(1,2); b=[1;1;1]; x=A\b; y=pinv(A)*b; A*x-b, A*y-b
A=rand(2,1)*rand(1,3); b=[1;1]; x=A\b; y=pinv(A)*b; A*x-b, A*y-b
// Une comparaison de différents solveurs linéaire creux

[A,descr,ref,mtype] = ReadHBSparse(SCI+"/modules/umfpack/demos/bcsstk24.rsa");

b = zeros(size(A,1),1);

tic();
res = umfpack(A,'\',b);
mprintf('\ntemps nécessaire à la résolution du système avec umfpack: %.3f\n',toc());

tic();
res = linsolve(A,b);
mprintf('\ntemps nécessaire à la résolution du système avec linsolve: %.3f\n',toc());

tic();
res = A\b;
mprintf('\ntemps nécessaire à la résolution du système avec l''opérateur backslash: %.3f\n',toc());

Voir aussi

• slash — division à droite et feedback
• lsq — linear least square solution of A*X=B with minimal norm(X)
• inv — inverse d'une matrice
• pinv — pseudo-inverse
• linsolve — solveur d'équation linéaire
• umfpack — solve sparse linear system
• datafit — Non linear (constrained) parametric fit of measured (weighted) data
• kron .\. — Kronecker left and right divisions
• overloading — display, functions and operators overloading capabilities

Historique